「ビジネスで差がつく計算力の鍛え方」の補足説明を試みる その2

前回の記事の続きを書く。

armik.hatenablog.jp

逆筆算が通じない例

3桁以上の数同士の引き算を計算する際には、普通一の位から引いていく。

一の位まで確定しなければ計算を始められないのは筆者にとって不満らしい。

計算を早くするため、通常とは逆に大きい位から引き算をする「逆筆算」なる方法が紹介されている。

「逆筆算」という言葉は筆者の造語らしく、ググってもこの本しかヒットしないようだ。

3桁同士の引き算の場合、次のプロセスをたどる。

  1. 十の位の引き算を見て、繰り下がりの有無を確認する
  2. 繰り下がりがある場合は繰り下がったものとして百の位の引き算を実行する
  3. 繰り下がりがない場合はそのまま百の位の引き算を実行する
  4. 一の位の引き算を見て、繰り下がりの有無を確認する
  5. 繰り下がりがある場合は繰り下がったものとして十の位の引き算を実行する
  6. 繰り下がりがない場合はそのまま十の位の引き算を実行する
  7. 一の位の引き算を実行する

例として327-178を考える。

  1. 十の位の引き算を見て、繰り下がりの有無を確認する →2-7となっているので繰り下がりがある
  2. 繰り下がりがある場合は繰り下がったものとして百の位の引き算を実行する →百の位は2-1=1
  3. 繰り下がりがない場合はそのまま百の位の引き算を実行する
  4. 一の位の引き算を見て、繰り下がりの有無を確認する →7-8となっているので繰り下がりがある
  5. 繰り下がりがある場合は繰り下がったものとして十の位の引き算を実行する →十の位は11-7=4
  6. 繰り下がりがない場合はそのまま十の位の引き算を実行する
  7. 一の位の引き算を実行する →一の位は17-8=9

よって答えは149となる。 わかりにくい方は本を確認してほしい。

言うまでもないことなのだが、この逆筆算ではできない引き算が存在する。それは

  • 十の位の数字が同じ
  • 一の位で繰り下がりがある

場合である。すなわち、差の十の位が9となる計算である。

例えば361-164をこの方法でやってみると、297が得られる。正しい答えは197である。

百の位の計算において一の位による繰り下がりを考えていないために、このようなミスが起こる。

対策としては、十の位が同じであれば一の位も見る、ということが挙げられる。

しかしながら、これでは「一の位まで確定しなくとも計算を始められる」という逆筆算らしさが損なわれる。

別の案として、そもそもこのような計算には逆筆算をしないというものがある。

361-164を見たときに、十の位の6が同じということに気づけば

361-164=361-161-3=200-3=197

と、まず200を確定させた後に微調整として3を引けばよい。逆筆算の拡張版とでもいえるだろうか。

逆筆算は足し算でも使えると書かれているが、ここで生じた問題は足し算でも起こる。

大きい数同士のかけ算

この本では触れられていないが、比較的大きい数同士のかけ算や割り算をビジネスではよく目にする気がする。例えば十万円の製品を十万個受注したら十億円になる。

十万 百万 千万
十万 百万 千万 十億 百億
十万 百万 千万 十億 百億 千億
百万 千万 十億 百億 千億
十万 千万 十億 百億 千億 十兆
百万 十億 百億 千億 十兆 百兆
千万 十億 百億 千億 十兆 百兆 千兆
百億 千億 十兆 百兆 千兆

全てを頭に入れる必要は当然ないだろう。千×千が百万になることくらいは覚えておいても良いかもしれない。

この手の計算は指数を使えば楽なのだが、指数と実際の読み方の結びつき(10^{8}が億など)に慣れないとすぐには出てこないだろう。

指数を使った場合、指数を4で割ったときの商が桁を、あまりが十、百、千を決める。

また、会計資料で見る千円、百万円単位の区切りは英語準拠らしい。千円区切りの場合は桁を一つ落とせば万と読むことができ、百万円区切りの場合は桁を二つ落とせば億とできる。

大きい数同士の割り算

大きい数同士の割り算の例としては人口密度がある。割り算はさほど難しくはない。

日本の国土面積は約38万km2であり、人口は約1億2000万人である。

日本の人口密度を考える時には

1億2000万人 / 38万km2

を計算する必要がある。面積を40万km2とし、万を約分すれば

1万2000人 / 40km2 = 1200人 / 4 km2 = 300人 / km2

となる。実際には340人 / km2(wikiより)であり、まずまずの精度である。

日本 - Wikipedia

最後に

この本には九去法による検算も載っている。私はこの方法をこの本で初めて知った。その妥当性はwikipediaで解説されている。

九去法 - Wikipedia

もし九去法で合わなければ、その計算は間違っている。

大事なのは、その裏は成り立たないということである。

九去法で合っていたからといって、計算が合っているとは限らない。

この注意点についても本ではきちんと説明されている。

九去法については注意喚起がされているのに、2桁×11や逆筆算については例外について書かれていないのは不親切だろう。

例外を見つけるのが比較的簡単であるために、省いても支障はないと判断されたのだろうけれど。